Two-Dimensional incompressible laminar flow between two parallel plates - case (Aplikasi CFD)

Diketahui contoh kasus sebagai berikut:

Terdapat dua plat yang sejajar dengan jarak H = 0.1 m dan dengan panjang L = 1m, lalu dialirkan udara (laminer) dengan viskositas m =4x10^-5 kg/ms

 Mengganti densitas p =1,2 kg/m³ dan   p =0,8 kg/m³dengan menetapkan kecepatan inlet u_inlet=0,01m/s

Cari dan analisis dengan menggunakan CFDSOF untuk kasus diatas.


Gambar untuk kasus di atas seperti gambar di bawah ini

Diskusi

Pertama-tama kita pahami dulu istilah-istilah dasar mengenai mekanika fluida. 

Hydrodynamic entrance region adalah daerah dari permukaan inlet ke titik di mana lapisan batas menyatu pada garis tengah.

 Hydrodynamic entry length adalah panjang dari daerah Hydrodynamic entrance region.

Fully developed region adalah daerah saat profil kecepatan sudah berkembang penuh dan tidak berubah lagi.

Persamaan untuk x momentum tetap dua-dimensi adalah

Langkah-langkah di dalam CFDSOF, untuk densitas 1.2 kg/m3 adalah sbb:

1. Input alokasi memori

2. Menentukkan domain. Menetukkan p x l x t = 1 x 0.1 x 1. Membagi cell pada arah i = 200 dan j = 20.

3. Input model. Berbeda dengan kasus difusi dan konveksi sebelumnya yang melibatkan perpindahan panas, pada kasus ini tidak terdapat perpindahan panas.

4. Mengatur cell inlet pada i= 1,1 dan j= 2,19

5. Memasukkan konstanta fisikal. Densitas 1.2 kg/m3 dan viscositas 4e-5 kg/ms

6. Menentukkan kondisi sempadan untuk inlet, kecepatan u = 0.01 m/s

7. Melakukan iterasi

8. Hasil dari simulasi vektor kecepatan dan kontur kecepatan seperti di bawah ini

Vektor kecepatan dengan densitas 1.2 kg/m3

Kontur kecepatan dengan densitas 1.2 kg/m3

9. Untuk melihat grafik plot xy, kita akan melakukan perintah dengan script. Kita keluar sampai ke menu awal, pilih lihat grafik, pilih plih plot, pilih isi data, dan pilih variabel cfdsof.

10. Mendefinisikan tabel xy 1 , j = 2, dan noda i = 5. Kemudian pilih variabel kecepatan u

11. Kita menginginkan noda i (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50). Ulangi pendefinisian untuk tabel xy 2, j = 2, dan noda 1=10, dan seterusnya sampai noda i=50

noda i=10

noda 1=15

noda i=20

12. Kemudian pada menu plot xy, masuk ke menu pilih data untuk kurva 1 sampai 10

13. Masuk ke menu tampil tabel

Menu tampil tabel pada plot xy

Tampilan tabel yang telah ditentukan variabel-variabelnya

14. Kemudian kita pilih plot. Tampilannya seperti di bawah ini

Langkah-langkah di dalam CFDSOF, untuk densitas 0.8 kg/m3 adalah sbb:

Langkah-langkah di dalam software CFDSOF sama,perbedaannya adalah memasukkan konstanta fisikal densitas 0.8 kg/m3.

Hasil plot xy adalah seperti di bawah ini

Melihat kembali rumus x momentum dua dimensi, diterapkan gaya inersia yang sama. Densitas yang lebih tinggi akan menghasilkan gaya inersia yang lebih tinggi yang akan meningkatkan momentum fluida. Sistem dengan densitas yang lebih tinggi akan menyebabkan aliran fully developed pada jarak yang lebih jauh.

Numerical Integration - Trapezoidal rule and Simpson's rule (Komputasi Teknik)

Trapezoidal Rule

Trapezoidal rule adalah suatu metode numerikal yang memperkirakan nilai dari sebuah integral pasti.

Kita asumsikan f(x) adalah kontinu pada (a,b) dan kita bagi (a,b) ke dalam sub interval dengan panjang yang sama.

menggunakan titik-titik n+1

Kita dapat menghitung nilai f(x) dari titik-titik ini

Kita dapat mendekati integral dengan menggunakan n trapezoid dengan menggunakan segmentasi garis lurus antara titik (xi-1,yi-1) dan  (xi,yi) untuk 1< i < n seperti gambar di bawah ini.

Dengan menambahkan luas n trapezoid, kita mendapatkan

Rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

Simpson's Rule
Simpson's Rule adalah suatu metode numerikal yang mendekati nilai dari integral tertentu dengan menggunakan polinomial quadrat.

Pertama-tama kita menurunkan rumus untuk luas di bawah parabola dari persamaan y= ax2 + bx + c melewati tiga titik (-h,y0), (0,y1), dan (h,y2)

Karena titik-titik  (-h,y0), (0,y1), dan (h,y2) pada parabola, memenuhi y= ax2 + bx + c, maka

y0 = ah2 - bh + c

y1 = c

y2 = ah2 + bh + c

Luas di bawah parabola adalah

Kita menghitung integral tertentu

Kita asumsikan f(x) adalah kontinu pada (a,b) dan kita bagi (a,b) ke dalam sub interval dengan panjang yang sama.

menggunakan titik-titik n+1

Kita dapat menghitung nilai f(x) dari titik-titik ini

Kita dapat memperkirakan integral dengan menambahkan luas-luas di bawah kurva parabola melalui tiga titik secara berturut-turut

Rumus di atas dapat disederhanakan yang dinamakan dengan Simpson's Rule

Menghitung Factorial (Komputasi Teknik)

Factorial adalah suatu fungsi matematika.

Factorial mengembalikan hasil semua bilangan dari 1 sampai bilangan itu sendiri.

Contoh : Factorial 4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Factorial n dapat ditulis sebagai n!

Pertama-tama kita membuat User Form seperti di bawah ini

UserForm Menghitung Factorial

 Kita mendeklarasikan variabel-varibel dan tipe datanya yaitu:

Factorial as Double

bilFac as Integer

n as Integer

bilFac adalah nilai n! yang dimasukkan pada TextBox1

sehingga bilFac = TextBox1

Lalu kita buat statement kondisi

jika bilFac <=0 maka hasilnya tidak ada (kita memunculkan message box "masukkan n>0")

Jika bilFac >0 kita melakukan Looping For n=1 to bilFac

dengan perhitungan Factorial = Factorial*n

Factorial adalah hasil dari perhitungan factorial dan dimunculkan pada TextBox2

Coding seperti di bawah ini

Coding Menghitung Factorial

Kita dapat melakukan contoh perhitungan factorial jika n<=0 seperti di bawah ini

Hasil Running program jika n<=0

Contoh perhitungan factorial jika n>1 seperti di bawah ini

Hasil Running program jika n>0

The central differencing scheme - case (Aplikasi CFD)

Properti φ pada konveksi-difusi satu dimensi seperti gambar di bawah ini.

Persamaan pada kondisi-kondisi sempadan adalah φ0 ₌ 1 pada x = 0 dan φL  = 0 pada x = L. Panjang L = 1.0m. Temperatur pada x=0 adalah 274K dan pada x=L adalah 273K. Menggunakan lima cell yang sama dan central differencing scheme untuk konveksi dan difusi, simulasikan distribusi dari φ sebagai fungsi dari x untuk :

case 1 : u= 0.1 m/s , ρ=0.1 kg/m3

case 2 : u= 0.1 m/s , ρ=0.01 kg/m3

case 3 : u= 0.1 m/s , ρ=0.001 kg/m3

Simulasi pada software CFDSOF adalah sbb:

Case 1

1. Input alokasi memori pada software CFDSOF

2. Input domain dengan p x l x t = 1 x 0,1 x 1 . Pada arah x, cell dibagi menjadi 7 sedangkan arah y cell dibagi menjadi 3

3. Input model untuk menghitung temperatur dan wall konduktif

4. Mengatur cell 

5. Mengatur kondisi sempadan pada wall 1 dan wall 2: Temperatur pada wall 1 dan wall 2 adalah 274K dan 273K.

6. Memasukkan nilai densitas pada kondisi fisikal : densitas = 0.1 kg/m3

7. Masuk pada menu olah kontrol persamaan dan pilih propert/temperatur entalpi.

8. Masuk pada menu mahir dan pilih pakai variable tetap. Kemudian set nilai tetap kecepatan u = 0.1 m/s. 

9. Melakukan iterasi

10. Melihat hasil grafik kontur temperatur dan plot xy (panjang vs temperatur)

Grafik kontur temperatur case 1

Grafik plot xy case 1 (panjang vs temperatur)

Langkah-langkah untuk case 2 dan case 3 sama seperti langkah-langkah di atas hanya saja kita ganti nilai densitas dari kondisi fisikalnya.

Case 2

Mengganti nilai densitas pada kondisi fisikal. ρ = 0.01 kg/m3.

Hasil grafik kontur temperatur dan plot xy ( panjang vs temperatur) adalah seperti di bawah ini

Grafik kontur temperatur case 2

Grafik plot xy case 2 (panjang vs temperatur)

Case 3

Mengganti nilai densitas pada kondisi fisikal. ρ = 0.001 kg/m3.

Sehingga grafik kontur temperatur dan plot xy (panjang vs temperatur) adalah seperti di bawah ini

Grafik kontur temperatur case 3

Grafik plot xy case 3 (panjang vs temperatur)

Rumus untuk mencari konveksi massa flux per satuan luas adalah
F = ρ u

dan untuk mencari difusi konduktansi pada permukaan cell adalah
D = Γ / δx


Konveksi massa flux berbanding lurus dengan perkalian antara densitas dan kecepatan fluida. Pada case 1,2,dan 3 kecepatan fluidanya tetap yaitu 0.1 m/s sedangkan densitasnya berbeda-beda. Pada case 1,2,dan 3 densitasnya berturut-turut adalah 0.1 kg/m3, 0.01 kg/m3, dan 0.001 kg/m3. 


Dapat dilihat dari grafik plot xy case 2 dan case 3, fenomena yang terjadi adalah penurunan konveksi massa flux karena nilai densitas yang berkurang. Pada grafik plot xy case 3, konveksi massa flux sangat kecil dan fenomena yang terjadi pada case 3 adalah difusi.