One-dimensional unsteady heat conduction (Aplikasi CFD)

Hukum konservasi untuk trasport skalar di dalam sebuah aliran unsteady memiliki bentuk umum

dimana di dalam aliran steady 

Konduksi panas unsteady satu-dimensional diatur oleh persamaan

variabel c adalah panas jenis material (J/kg/K).

Anggap kontrol volume satu-dimensional pada gambar di bawah ini. Integral persamaan di atas pada kontrol volume dan interval waktu t.

Persamaannya menjadi

Jika kita mengaplikasikan skema central differencing untuk difusi, persamaan dapat ditulis sebagai

Di dalam persamaan di atas, tanda 'o' menunjuk kepada temperatur pada waktu t.

Kemudian kita identifikasikan koefisien TW dan TE sebagai aW dan aE dan menulis persamaan menjadi

dimana

dan

dengan

Ketika

temperatur pada level waktu baru digunakan pada kedua sisi persamaan; skema hasil ini disebut implisit. Kasus ekstrim 

disebut sebagai implisit penuh dan kasus

disebut skema Crank-Nicolson.

Skema eksplisit

Di dalam skema eksplisit sumber dilinearisasi sebagai 

Kita substitusi 

ke dalam persamaan perpindahan panas konduktif

Pertidaksamaan ini menetapkan batas maksimum ke ukuran langkah waktu dan mewakilkan batas serius untuk skema eksplisit. Menjadi sangat mahal untuk mengembangkan akurasi ruang karena langkah waktu maksimal perlu dikurangi sebesar delta x kuadrat. Sebagai konsekuensi, metode ini tidak direkomendasi untuk masalah-masalah transient umum. Skema eksplisit efisien untuk perhitungan konduksi yang sederhana.

Skema Crank-Nicolson

Di dalam metode ini kita tetapkan

Kita dapatkan persamaan perpindahan panas unsteady adalah

Batas langkah waktu hanya sedikit lebih kecil daripada di dalam skema eksplisit. Dengan langkah waktu cukup kecil dimungkinkan meraih akurasi yang lebih besar daripada metode eksplisit. Akurasi keseluruhan juga bergantung pada praktek diferensiasi ruangan, sehingga metode Crank-Nicolson biasa digunakan besamaan dengan central differencing spatial.

Skema implisit penuh

Ketika kita set nilai

persamaan diskretisasi adalah

Dapat dilihat bahwa semua koefisien adalah positif, di mana membuat skema implisit stabil tanpa syarat untuk setiap ukuran langkah waktu. Karena akurasi skema hanya orde-satu di dalam waktu, langkah waktu kecil dibutuhkan untuk memastikan hasil-hasil akurat. Metode implisit direkomendasikan untuk tujuan umum perhitungan transient karena kestabilannya.



Sumber :
Versteeg H.K., Malalasekera W. Introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method (Longman, 1995)(T)(267s)