Aliran laminar antara dua plat datar (Take home UTS Aplikasi CFD)

Model matematis aliran laminar tunak 2D di antara dua plat datar mengacu pada prinsip konservasi momentum:

Buktikan bahwa solusi analitis model matematis pada persamaan di atas, untuk massa jenis 1kg/m3 dan viskositas 1 kg/ms adalah:

Jawab:

Sebuah tegangan geser τ ada antara dua lapisan dan meningkat dengan dτ melalui lapisan. Perbedaan tekanan antara inlet dan outlet adalah dp.

Perubahan tekanan dibutuhkan untuk mengatasi tegangan geser. Total gaya haruslah nol sehingga gaya pada lapisan seimbang.

Gradien tekanan ∂p/∂x adalah konstan. Tanda negative (-) mengindikasikan penurunan tekanan sesuai dengan jarak.

Integral antara permukaan no-slip (y=0) dan tinggi y yang didapatkan.

Integralkan dua kali terhadap ∂y

A dan B adalah konstanta integral yang harus diselesaikan berdasarkan kondisi batas (kondisi yang diketahui). Untuk permukaan plat bahwa u=0 ketika y=0 (permukaan no-slip).

Substitusikan dengan persamaan di atas

0=0+0+B

B=0

Pada u=0 ketika y=h

Substitusi pada persamaan di atas

Untuk mencari laju aliran

 L adalah panjang searah sumbu x

Integralkan antara y=0 dan y=h untuk mencari Q

Kecepatan rata-rata didapat dari

Jika kecepatan searah sumbu x, u=1m/s, maka persamaan menjadi

Kita simulasikan kondisi di atas ke dalam software CFDSOF. 

Simulasi CFD pada Software CFDSOF

1. Kita tentukan daerah domain p x l x t = 1 x 0.1 x 1 m. Jumlah cell 50i x 30j

2. Membangun grid dengan cell-cell dekat lapisan batas dan inlet yang lebih rapat. Untuk lebih jelasnya lihat posting saya sebelumnya http://l45somanik.blogspot.com/2012/03/mesh-study-on-two-parallel-plates-case.html

3. Menetapkan inlet 1 pada i1,j2 sampai i1,j29 dan inlet 2 i50,j2 sampai dengan i50,j29.

4. Menetapkan konstanta fisikal seperti kondisi di atas. Massa jenis 1kg/m3 dan viskositas 1 kg/ms.

5. Menetapkan kondisi sempadan. Inlet 1sebagai velocity inlet dengan kecepatan u = 1 m/s dan inlet 2 sebagai pressure inlet.

6. Kita lakukan iterasi untuk mendapatkan hasilnya.

7. Kita lihat grid yang dibangun seperti gambar di bawah ini.

Bangun grid

8. Kita lihat vektor dan kontur kecepatan seperti gambar di bawah ini. Dapat dilihat bahwa kecepatan paling tinggi pada daerah tengah yaitu 1.506 m/s dan kecepatan paling rendah pada daerah lapisan batas yaitu 9.738 E-03 m/s. Hasil tersebut sesuai dengan konsep persamaan momentum.

Vektor kecepatan

Kontur kecepatan

9. Kita lihat gambar kontur tekanan seperti gambar di bawah. Tekanan paling besar adalah pada daerah inlet   yaitu 1.062 E+05 Pa dan tekanan paling kecil adalah pada daerah outlet yaitu 1.01 E+05 Pa. Hasil ini sesuai dengan konsep persamaan momentum.

Kontur Tekanan

10. Kita lihat grafik tekanan vs panjang arah x dan profil kecepatan pada gambar di bawah ini.

Tekanan Vs Panjang arah X

Profil kecepatan

Dapat disimpulkan bahwa kecepatan bertambah dari lapisan batas sampai daerah tengah-tengah aliran dan kembali berkurang menuju lapisan batas sisi yang lainnya (arah sumbu y).Kecepatan bertambah sepanjang jarak arah sumbu x sampai aliran berkembang penuh dan keceptan akan mempunyai nilai tetap.  Gaya gesek atau hambatan yang paling besar adalah pada daerah lapisan batas dan paling kecil pada daerah tengah-tengah aliran. Gaya gesek berkurang sepanjang jarak arah sumbu x. Tekanan memiliki nilai paling besar pada daerah lapisan batas dan paling kecil pada daerah tengah-tengah aliran. 

Hasil simulasi di atas memenuhi konsep persamaan konservasi momentum.