Numerical Integration - Trapezoidal rule and Simpson's rule (Komputasi Teknik)

Trapezoidal Rule

Trapezoidal rule adalah suatu metode numerikal yang memperkirakan nilai dari sebuah integral pasti.

Kita asumsikan f(x) adalah kontinu pada (a,b) dan kita bagi (a,b) ke dalam sub interval dengan panjang yang sama.

menggunakan titik-titik n+1

Kita dapat menghitung nilai f(x) dari titik-titik ini

Kita dapat mendekati integral dengan menggunakan n trapezoid dengan menggunakan segmentasi garis lurus antara titik (xi-1,yi-1) dan  (xi,yi) untuk 1< i < n seperti gambar di bawah ini.

Dengan menambahkan luas n trapezoid, kita mendapatkan

Rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

Simpson's Rule
Simpson's Rule adalah suatu metode numerikal yang mendekati nilai dari integral tertentu dengan menggunakan polinomial quadrat.

Pertama-tama kita menurunkan rumus untuk luas di bawah parabola dari persamaan y= ax2 + bx + c melewati tiga titik (-h,y0), (0,y1), dan (h,y2)

Karena titik-titik  (-h,y0), (0,y1), dan (h,y2) pada parabola, memenuhi y= ax2 + bx + c, maka

y0 = ah2 - bh + c

y1 = c

y2 = ah2 + bh + c

Luas di bawah parabola adalah

Kita menghitung integral tertentu

Kita asumsikan f(x) adalah kontinu pada (a,b) dan kita bagi (a,b) ke dalam sub interval dengan panjang yang sama.

menggunakan titik-titik n+1

Kita dapat menghitung nilai f(x) dari titik-titik ini

Kita dapat memperkirakan integral dengan menambahkan luas-luas di bawah kurva parabola melalui tiga titik secara berturut-turut

Rumus di atas dapat disederhanakan yang dinamakan dengan Simpson's Rule